Histoire du Théorème de Pythagore

Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'Antiquité est un fait dont on peut trouver trace (De manière générale, une trace est l'influence d'un événement sur son environnement. On utilise parfois le terme...) dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize nœuds dont se servaient les arpenteurs égyptiens . Cette corde permettait de mesurer des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13 nœuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un outil de géomètre pendant encore tout le Moyen Âge.

Le théorème de Pythagore a été utilisé par les magiciens, les gnostiques et les sectes ésotériques. Il s'agit de construire des oppositions entre le matériel et le spirituel, le ciel et la terre, l'humain et le divin, etc. Ainsi, Albert Pike affirme que le théorème de Pythagore constitue le gros secret de la franc-maçonnerie. (lien). Ce théorème révèle en même temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...) que plusieurs de ces sectes rendent un culte secret envers Isis et Osiris.

La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne). On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes (tablette de Plimpton 322 vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.

Mais entre la découverte d'une propriété : « on observe que certains triangles rectangles vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il faut souvent attendre plusieurs siècles.
Pythagore
Pythagore

Les preuves historiques de la vie de Pythagore sont déjà si rares qu'il n'est pas étonnant qu'on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration (Cet article ou cette section doit être recyclé. Sa qualité devrait être largement améliorée en le réorganisant et en le...). La première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »
(Livre I, proposition XLVII)

Avec sa réciproque :

« Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit. »
(Livre I, proposition XLVIII)

Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d'Euclide (environ 400 ap. J.-C.) semblent indiquer qu'Euclide n'aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore.

C'est donc entre le VIe et le IIIe siècle av. J.-C. que l'on peut dater la démonstration de cette propriété. On raconte que c'est à cette occasion qu'aurait été découverte l'existence de nombre irrationnel. En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l'hypoténuse vaudrait 2. Or une démonstration simple accessible du temps de Pythagore prouve qu'aucun rationnel n'a un carré égal à 2. On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l'école pythagoricienne sous peine de mort.

Parallèlement à ces découvertes, il semble qu'en Chine aussi la propriété soit connue. On retrouve trace de l'existence de ce théorème dans un des plus anciens ouvrages mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) chinois le Zhoubi suanjing. Cet ouvrage, écrit probablement durant la dynastie Han (206 av. J.-C. - 220 ap. J.-C.), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. - 256 av. J.-C.). Une démonstration du théorème, qui porte en Chine le nom de théorème de Gougu (base et altitude), figure dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, 100 av. J.-C. - 50 ap. J.-C.), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui prouve l'originalité de la démarche chinoise.

En Inde, vers 300 av. J.-C., on trouve la trace d'une démonstration numérique de la propriété (preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément).

D'une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend aussi un développement arithmétique avec la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) de tous les triplets d'entiers associés aux trois côtés d'un triangle rectangle : ce sont les triplets pythagoriciens. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplets vérifiant l'égalité an + bn = cn, recherche qui conduit à la conjecture de Fermat résolue en 1994 par Andrew Wiles.

Il existe en réalité de nombreuses démonstrations de ce théorème, de celle d'Euclide à celle des Chinois, en passant par celle de l'Inde, celle utilisant des similitudes, celle de Léonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield. On ne peut pas passer sous silence Al Kashi qui donne pour un triangle quelconque une relation dont la formule de Pythagore devient alors le cas particulier du triangle rectangle : le Théorème d'Al-Kashi.